```{r setup, echo=FALSE}
knitr::opts_chunk$set(echo = TRUE,
                      message = FALSE,
                      warning = FALSE)
```

# 6.1 確率の重要性

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## なぜ確率を学ぶのか？

-   データ分析には常に**不確実性** (Uncertainty) が伴う。
-   標本から母集団を推測する際、その推測がどれくらい正確かを評価するために確率の知識が必要。
-   社会科学における例：
    -   世論調査の誤差の評価
    -   政策効果が偶然ではないことの確認
    -   将来の出来事の発生予測

# 6.2 ベルヌーイ分布

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## ベルヌーイ分布 (Bernoulli Distribution)

-   2つの結果（成功/失敗、1/0）しかない試行の確率分布。
-   例：コイン投げ（表=1, 裏=0）

\footnotesize

```{r}
# 100万回のコイン投げシミュレーション
possible_values <- c(1, 0)
flips <- sample(possible_values, size = 1000000, 
                replace = TRUE, prob = c(0.5, 0.5))

# 比率の確認
prop.table(table(flips))
# 平均（期待値）
mean(flips)
```

\normalsize

# 6.3 正規分布

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## STAR データの読み込み (1)

* 連続データの分布（正規分布）を確認するため、データを読み込みます。

\scriptsize
```{r}
# 1. ローカルに保存したデータの読み込み（推奨）
star <- read.csv("STAR.csv")

# （参考）URLから直接読み込むことも可能
# star <- read.csv("https://ayumu-tanaka.github.io/QSS/DSS_Data/STAR.csv")
```
\normalsize

---

## 正規分布 (Normal Distribution) (2)

-   左右対称の釣鐘型の分布。多くの自然・社会現象に現れる。
-   平均 ($\mu$) と標準偏差 ($\sigma$) で形状が決まる。

\scriptsize
```{r, fig.height=4, out.height="75%", fig.align="center"}
# 読解力テストの得点分布
hist(star$reading, freq = FALSE, 
     main = "Histogram of Reading Scores", 
     xlab = "Reading Score")
```
\normalsize

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## 標準正規分布 (Standard Normal Distribution)

-   平均 = 0, 標準偏差 = 1 の正規分布。
-   `pnorm()` 関数を用いて、ある値以下の確率を計算できる。

```{r}
# Z <= -1.96 となる確率（約2.5%）
pnorm(-1.96)

# -1.96 <= Z <= 1.96 となる確率（約95%）
pnorm(1.96) - pnorm(-1.96)
```

# 6.4 大数の法則

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## 大数の法則 (Law of Large Numbers)

-   サンプルサイズ ($n$) が大きくなるほど、標本平均は母平均に近づく。

\scriptsize

```{r}
# 母集団の支持率 p = 0.6 とする
# n = 10 の場合
mean(sample(c(1, 0), size = 10, replace = TRUE, 
            prob = c(0.6, 0.4)))

# n = 1000 の場合
mean(sample(c(1, 0), size = 1000, replace = TRUE,
            prob = c(0.6, 0.4)))

# n = 1000000 の場合
mean(sample(c(1, 0), size = 1000000, replace = TRUE, 
            prob = c(0.6, 0.4)))
```

\normalsize

# 6.5 中心極限定理

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## 中心極限定理 (Central Limit Theorem)

-   もとの分布が何であれ、サンプルサイズが十分に大きければ、標本平均の分布は**正規分布**に近づく。
-   推測統計学の最も重要な基盤。

\footnotesize

```{r}
# シミュレーション：標本平均の分布
sample_means <- c()
for(i in 1:10000){
  sample_means[i] <- mean(sample(c(1, 0), 
                                 size = 1000, 
        replace = TRUE, prob = c(0.6, 0.4)))
}
```

\normalsize

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## 中心極限定理の視覚化

\footnotesize

```{r, fig.height=3.5, out.height="40%", fig.align="center"}
hist(sample_means, freq = FALSE, 
     main = "Distribution of Sample Means", 
     xlab = "Sample Mean")
```

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# 6.6 まとめ

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## 第6章のまとめ

-   **確率**は不確実性を数値化するための道具である。
-   **ベルヌーイ分布**は二値データを、**正規分布**は連続データをモデル化する。
-   **大数の法則**により、大きなサンプルはより正確な推測を可能にする。
-   **中心極限定理**により、標本平均の挙動を予測し、信頼区間や仮説検定に繋げることができる（次章）。
