第5章: 重回帰分析：OLS漸近特性

Jeffrey Wooldridge (2016).
Introductory Econometrics: A Modern Approach
Seventh Edition. Cengage Learning.

2026-01-23

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5-1 一致性 (Consistency)

標本数と推定量

第4章までの性質（不偏性など）は、どのような標本サイズ \(n\) に対しても成立する有限標本特性（finite sample properties）であった。
第5章では、標本サイズ \(n\) が無限に大きくなったときの推定量の振る舞い、すなわち漸近特性（asymptotic properties）を扱う。
特に重要なのが、一致性（consistency）である。

OLS推定量の一致性

標本サイズ \(n\) が大きくなるにつれて、推定量 \(\hat{\beta}_j\) が真のパラメータ \(\beta_j\) に確率収束することを一致性という。

\[ \text{plim}(\hat{\beta}_j) = \beta_j \]

仮定 MLR.1（線形性）〜 MLR.4（ゼロ条件付き平均）が満たされれば、OLS推定量は一致性を持つ。
注：仮定 MLR.6（正規性）は一致性には不要である。

不偏性と一致性の違い

不偏性: 期待値が真の値に等しいこと（\(E(\hat{\beta}_j) = \beta_j\)）。サンプルサイズが小さくても成立する。
一致性: サンプルサイズが無限大の極限で、真の値に収束すること。
OLS推定量は、MLR.4 (\(E(u|x)=0\)) が満たされれば不偏かつ一致推定量である。
しかし、少し弱い仮定（\(E(u)=0\) かつ \(\text{Cov}(x,u)=0\)）の下では、不偏ではないが一致性を持つ場合がある。

5-2 漸近正規性と大規模標本での推論

漸近正規性 (Asymptotic Normality)

誤差項 \(u\) が正規分布に従わなくても（つまり MLR.6 が満たされなくても）、標本サイズ \(n\) が十分に大きければ、OLS推定量 \(\hat{\beta}_j\) の分布は近似的に正規分布に従う。

\[ \sqrt{n}(\hat{\beta}_j - \beta_j) \xrightarrow{d} \text{Normal}(0, \sigma^2 / a_j^2) \]

これを漸近正規性と呼ぶ。
これにより、大規模標本（large sample）においては、誤差項の分布に関わらず t検定やF検定、信頼区間の構成が正当化される。

実証分析における含意

標本サイズが十分に大きい場合（例：数百以上）、データのヒストグラム（誤差項の分布）が正規分布に見えなくても、t値やp値を通常通り解釈してよい。
ただし、「十分に大きい」の基準はデータの性質による（極端な外れ値がある場合などは注意が必要）。

5-3 Rによるシミュレーション

正規分布でない誤差項を持つモデル

誤差項が一様分布に従う場合のシミュレーションを行う。
真のモデル: \(y = 1 + 2x + u\), \(x \sim N(0, 1)\), \(u \sim \text{Uniform}(-\sqrt{3}, \sqrt{3})\) （分散は1）

set.seed(123)
n_sim <- 1000  # シミュレーション回数
beta1_estimates <- numeric(n_sim)
n <- 500       # サンプルサイズ（比較的大きい）

for(i in 1:n_sim){
  x <- rnorm(n)
  u <- runif(n, min = -sqrt(3), max = sqrt(3)) # 非正規
  y <- 1 + 2 * x + u
  beta1_estimates[i] <- coef(lm(y ~ x))[2]
}

推定量の分布の確認

# ヒストグラムと正規分布曲線の重ね書き
hist(beta1_estimates, probability = TRUE, 
     main = "Distribution of OLS Estimator (n=500)",
     xlab = "Estimated Beta1")
curve(dnorm(x, mean = 2, sd = sd(beta1_estimates)), 
      add = TRUE, col = "red", lwd = 2)

誤差項は一様分布だが、推定量の分布は綺麗な正規分布（ベル型）になっていることがわかる。

5-4 大規模標本でのラグランジュ乗数検定 (LM検定)

LM検定 (Lagrange Multiplier Statistic)

複数の制約に関する検定として、F検定の代わりに使用されることがある。
特に、制約付きモデル（Restricted Model）のみを推定すればよいため、制約なしモデルの推定が困難な場合に便利である。
大規模標本において、LM統計量はカイ二乗分布 \(\chi^2_q\) に従う（\(q\) は制約の数）。

LM検定の手順

制約付きモデル（\(H_0\) を課したモデル）を推定し、残差 \(\tilde{u}\) を保存する。
残差 \(\tilde{u}\) を、制約なしモデルのすべての独立変数で回帰する（補助回帰）。
この補助回帰の決定係数 \(R^2_{\tilde{u}}\) を取得する。
\(LM = n \cdot R^2_{\tilde{u}}\) を計算する。
自由度 \(q\) のカイ二乗分布と比較してp値を求める。

LM検定の例 (`crime1`)

\(H_0: \beta_{\text{avgsen}} = 0, \beta_{\text{tottime}} = 0\) （刑罰の厳しさは犯罪率に影響しない）

data(crime1)
n <- nrow(crime1)
# 1. 制約付きモデル（刑罰変数なし）
model_r <- lm(narr86 ~ pcnv + ptime86 + qemp86, 
              data = crime1)
u_tilde <- resid(model_r)

# 2. 補助回帰（残差をすべての変数で回帰）
# avgsen, tottime を追加
model_aux <- lm(u_tilde ~ pcnv + ptime86 + qemp86 + 
                avgsen + tottime, data = crime1)

	Restricted Model	Auxiliary Regression
(Intercept)	0.712***	-0.006
	(0.033)	(0.033)
pcnv	-0.150***	-0.001
	(0.041)	(0.041)
ptime86	-0.034***	-0.005
	(0.009)	(0.009)
qemp86	-0.104***	0.001
	(0.010)	(0.010)
avgsen		-0.007
		(0.012)
tottime		0.012
		(0.010)
R2	0.041	0.001
R2 Adj.	0.040	-0.000
RMSE	0.84	0.84

+=============+==================+======================+ | + p < 0.1, * p < 0.05, ** p < 0.01, *** p < 0.001 | +=============+==================+======================+

LM検定の計算

# 3 & 4. LM統計量の計算
lm_stat <- n * summary(model_aux)$r.squared
lm_stat

## [1] 4.070729

LM検定の判定

# 5. p値の計算 (自由度 q = 2)
p_value <- 1 - pchisq(lm_stat, df = 2)
p_value

## [1] 0.1306328

p値が \(0.05\) より大きければ、帰無仮説を棄却できない。
F検定の結果と（漸近的に）類似するはずである。

まとめ

OLS推定量は、標本サイズが大きくなると真の値に確率収束する（一致性）。
誤差項が正規分布でなくても、標本サイズが十分に大きければ、OLS推定量は近似的に正規分布に従う（漸近正規性）。
これにより、大規模標本では通常のt検定やF検定が妥当となる。
LM検定は、大規模標本においてF検定の代替として利用できる（補助回帰を用いる）。