```{r setup, echo=FALSE}
knitr::opts_chunk$set(echo = TRUE,
                      message = FALSE,
                      warning = FALSE)
# install.packages("wooldridge") # wooldridgeパッケージが未インストールの場合は実行
library(wooldridge)
```


# 準備

## 必要なパッケージの読み込み

* `wooldridge`パッケージの読み込み

```r
library(wooldridge)
```




# 6-1 データのスケーリングとOLS統計量

---

## 単位の変更の影響

- 従属変数 $y$ や独立変数 $x$ の単位を変更（スケーリング）した場合、OLS推定量や統計量はどのように変化するか？
- **例：** $y$ を円から千円にする（1000で割る）、$x$ をマイルからキロメートルにするなど。

---

## 従属変数 $y$ のスケーリング

- $y$ を定数 $c$ 倍（例えば $y^* = cy$）した場合：
    - 係数 $\hat{\beta}_j$ はすべて $c$ 倍になる。
    - 標準誤差 $\text{se}(\hat{\beta}_j)$ も $c$ 倍になる。
    - **t統計量は変化しない。**
    - **決定係数 $R^2$ は変化しない。**

---

## 独立変数 $x_j$ のスケーリング

- 独立変数 $x_k$ を定数 $c$ 倍（例えば $x_k^* = cx_k$）した場合：
    - 該当する係数 $\hat{\beta}_k$ は $1/c$ 倍になる。
    - 他の係数 $\hat{\beta}_j$ ($j \neq k$) は変化しない。
    - 標準誤差も同様に変化するため、**t統計量は変化しない。**
    - **決定係数 $R^2$ は変化しない。**

---

## 標準化係数 (Beta Coefficients)

- 変数の単位に依存しない係数比較を行いたい場合、変数を**標準化**（平均を引いて標準偏差で割る）する。
- すべての変数を標準化して回帰を行うと、得られる係数は**標準化係数**（Beta Coefficients）と呼ばれる。
- 「$x$ が1標準偏差変化したとき、$y$ が何標準偏差変化するか」を表す。

# 6-2 関数形式のさらなる検討

---

## 対数形式 (Log Forms)

- 対数形式をとることで、非線形な関係を線形モデルで扱える。
- 対数の差は近似的に変化率（パーセント）を表す。

| モデル | 従属変数 | 独立変数 | 解釈 ($\beta_1$) |
| :--- | :--- | :--- | :--- |
| Level-Level | $y$ | $x$ | $\Delta y = \beta_1 \Delta x$ |
| Level-Log | $y$ | $\log(x)$ | $\Delta y \approx (\beta_1/100) \% \Delta x$ |
| Log-Level | $\log(y)$ | $x$ | $\% \Delta y \approx (100 \beta_1) \Delta x$ |
| Log-Log | $\log(y)$ | $\log(x)$ | $\% \Delta y \approx \beta_1 \% \Delta x$ (弾力性) |

---

## 対数形式の利点

1.  係数が変化率（弾力性）として解釈しやすくなる。
2.  変数の分布が右に裾を引いている場合（所得など）、対数をとることで正規分布に近づき、外れ値の影響を緩和できる。
3.  不均一分散を緩和することが多い。

---

## 2次形式 (Quadratic Forms)

- 限界効果が一定でない場合に使用。
- モデル: $y = \beta_0 + \beta_1 x + \beta_2 x^2 + u$
- 限界効果: $\frac{\partial y}{\partial x} = \beta_1 + 2\beta_2 x$
- $\beta_2 > 0$: 下に凸（U字型）
- $\beta_2 < 0$: 上に凸（逆U字型）
- 頂点（極値）: $x^* = -\beta_1 / (2\beta_2)$

---

## 2次形式の例 (`hprice1`)

\footnotesize
```{r}
data(hprice1)
# 住宅面積(sqrft)の2次形式
res <- lm(price ~ lotsize + sqrft + I(sqrft^2) + bdrms, data=hprice1)
summary(res)$coefficients[3:4, ]
```
\normalsize

---

## 交差項 (Interaction Terms)

- ある独立変数の効果が、別の独立変数の値に依存する場合。
- モデル: $y = \beta_0 + \beta_1 x_1 + \beta_2 x_2 + \beta_3 (x_1 x_2) + u$
- $x_1$ の限界効果: $\frac{\partial y}{\partial x_1} = \beta_1 + \beta_3 x_2$
- $x_2$ の値によって $x_1$ の効果が変化することを表現できる。

# 6-3 決定係数 $R^2$ と自由度修正決定係数 $\bar{R}^2$

---

## 通常の $R^2$ の問題点

- モデルに独立変数を追加すると、たとえその変数に説明力がなくても、$R^2$ は決して減少せず、通常は増加する。
- モデルの複雑さを考慮した指標が必要。

---

## 自由度修正決定係数 (Adjusted R-squared)

- 推定に要した自由度を考慮した決定係数：
$$ \bar{R}^2 = 1 - \frac{SSR / (n - k - 1)}{SST / (n - 1)} = 1 - \frac{\hat{\sigma}^2}{SST / (n-1)} $$
- 変数を追加しても、$\hat{\sigma}^2$（誤差分散の推定値）が減少しなければ $\bar{R}^2$ は増加しない。
- $\bar{R}^2$ は負になることもある。

---

## モデル選択における注意

- $R^2$ や $\bar{R}^2$ を最大化することだけが、モデル選択の目的ではない。
- 重要なのは、理論的背景や、内生性（$E[u|x]=0$）の排除である。
- 非線形な変換（例：$y$ vs $\log(y)$）をしたモデル同士の $R^2$ を直接比較してはいけない。

# 6-4 予測と残差分析

---

## 予測 (Prediction)

- 推定されたモデルを用いて、与えられた $x$ の値に対する $y$ の期待値を推定する。
- `predict()` 関数を使用して計算可能。
- 信頼区間 (Confidence Interval) と予測区間 (Prediction Interval) の違いに注意。

---

## 残差分析 (Residual Analysis)

- 推定された残差 $\hat{u} = y - \hat{y}$ を観察することで、モデルの妥当性をチェックする。
- 特定のサンプル（アウトライヤー）が結果に大きな影響を与えていないか確認する。

---

## まとめ

- スケーリングは係数の値を変化させるが、t統計量や $R^2$ には影響しない。
- 対数、2次形式、交差項により、現実的な非線形関係をモデル化できる。
- $\bar{R}^2$ はモデルの複雑さを考慮するが、過信は禁物。
- 予測と残差分析は、モデルの実用性と妥当性の検証に不可欠。

