```{r setup, echo=FALSE}
knitr::opts_chunk$set(echo = TRUE,
                      message = FALSE,
                      warning = FALSE)
# install.packages("wooldridge")
library(wooldridge)
```


# 準備

## 必要なパッケージの読み込み

* `wooldridge`パッケージの読み込み

```r
library(wooldridge)
```


# 7-1 ダミー変数の基礎

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## 質的情報 (Qualitative Information)

- これまでは、所得、教育年数、価格などの**量的変数**を扱ってきた。
- 現実には、性別、人種、業界、地域、政策の有無などの**質的情報**も重要である。
- これを0と1で表したものを**ダミー変数**（または二値変数, Binary variables）と呼ぶ。

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## ダミー変数の定義

- 例：女性であれば1、男性であれば0をとる変数 `female`
- モデル: $\text{wage} = \beta_0 + \delta_0 \text{female} + \beta_1 \text{educ} + u$
- 男性の期待値 ($female=0$): $E(\text{wage} | female=0, \text{educ}) = \beta_0 + \beta_1 \text{educ}$
- 女性の期待値 ($female=1$): $E(\text{wage} | female=1, \text{educ}) = (\beta_0 + \delta_0) + \beta_1 \text{educ}$
- $\delta_0$ は、教育年数が同じ男女間の賃金格差を表す。

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## ダミー変数の罠 (Dummy Variable Trap)

- カテゴリが $G$ 個ある場合、含めるダミー変数は $G-1$ 個にする必要がある。
- すべてのカテゴリのダミー変数と定数項を同時に入れると、完全な多重共線性が発生する。
- 入れなかったカテゴリが**基準グループ**（Benchmark/Reference group）となる。

# 7-2 複数のカテゴリを持つダミー変数

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## 例：学歴レベル

- 「中卒」「高卒」「大卒」の3カテゴリがある場合。
- ダミー変数: `highschool`, `university` の2つを作成。
- 基準グループ: 「中卒」
- モデル: $y = \beta_0 + \delta_1 \text{highschool} + \delta_2 \text{university} + \dots + u$
- $\delta_2$ は「中卒」と比較した「大卒」の効果。
- 「高卒」と「大卒」の差を検定するには、$\delta_2 - \delta_1 = 0$ かどうかを調べる。

# 7-3 交差項とダミー変数

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## ダミー変数同士の交差項

- 例：性別 (`female`) と 既婚 (`married`)
- 4つのグループ（独身男性、独身女性、既婚男性、既婚女性）の差を表現できる。
- `female * married` という交差項を入れることで、結婚の効果が男女で異なるかどうかを検証できる。

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## 量的変数とダミー変数の交差項

- モデル: $\log(\text{wage}) = \beta_0 + \delta_0 \text{female} + \beta_1 \text{educ} + \delta_1 (\text{female} \cdot \text{educ}) + u$
- 男性の教育効果: $\beta_1$
- 女性の教育効果: $\beta_1 + \delta_1$
- $\delta_1 \neq 0$ であれば、教育の収益率に男女差があることになる。

# 7-4 線形確率モデル (LPM)

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## 従属変数がダミー変数の場合

- 例：就業の有無、住宅ローンの承認、政策の効果。
- 従属変数 $y$ が 0 または 1 をとるモデル。
- $P(y=1 | x) = E(y | x) = \beta_0 + \beta_1 x_1 + \dots + \beta_k x_k$
- 係数 $\beta_j$ は、$x_j$ が1単位変化したときの **$y=1$ となる確率の変化**を表す。

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## LPMの利点と欠点

- **利点:** 解釈が非常に容易である。
- **欠点:**
    1.  予測値 $\hat{y}$ が 0 未満や 1 を超えることがある。
    2.  誤差項に不均一分散が必ず発生する。
    3.  限界効果が常に一定という仮定が不自然な場合がある。
- （より高度な手法として Logit や Probit モデルがある）

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## LPMの推定例 (`mroz`)

\footnotesize
```{r}
data(mroz)
# 既婚女性の労働供給 (inlf=1: 労働市場に参加)
res_lpm <- lm(inlf ~ nwifeinc + educ + exper + age + kidslt6, data=mroz)
summary(res_lpm)$coefficients[1:4, ]
```
\normalsize

# 7-5 政策評価とプログラム評価

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## 処置効果 (Treatment Effect)

- 政策やプログラム（処置）に参加したことの効果を測定する。
- $y = \beta_0 + \delta_0 \text{prog} + \dots + u$
- ここで `prog` は参加した人に対して 1 をとるダミー変数。
- 理想的には、参加がランダムに割り当てられていれば、$\delta_0$ は因果関係を表す。

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## まとめ

- ダミー変数は質的情報を回帰モデルに取り込むための強力なツール。
- 解釈の際は常に「基準グループ」を意識する。
- 交差項を用いることで、グループ間の傾きの違いを表現できる。
- 従属変数がダミー変数の場合は線形確率モデル (LPM) として扱うことができる。

