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質的情報 (Qualitative Information)

• これまでは、所得、教育年数、価格などの量的変数を扱ってきた。
• 現実には、性別、人種、業界、地域、政策の有無などの質的情報も重要である。
• これを0と1で表したものをダミー変数（または二値変数, Binary variables）と呼ぶ。

ダミー変数の定義

• 例：女性であれば1、男性であれば0をとる変数 female
• モデル: \(\text{wage} = \beta_0 + \delta_0 \text{female} + \beta_1 \text{educ} + u\)
• 男性の期待値 (\(female=0\)): \(E(\text{wage} | female=0, \text{educ}) = \beta_0 + \beta_1 \text{educ}\)
• 女性の期待値 (\(female=1\)): \(E(\text{wage} | female=1, \text{educ}) = (\beta_0 + \delta_0) + \beta_1 \text{educ}\)
• \(\delta_0\) は、教育年数が同じ男女間の賃金格差を表す。

ダミー変数の罠 (Dummy Variable Trap)

• カテゴリが \(G\) 個ある場合、含めるダミー変数は \(G-1\) 個にする必要がある。
• すべてのカテゴリのダミー変数と定数項を同時に入れると、完全な多重共線性が発生する。
• 入れなかったカテゴリが基準グループ（Benchmark/Reference group）となる。

例：学歴レベル

• 「中卒」「高卒」「大卒」の3カテゴリがある場合。
• ダミー変数: highschool, university の2つを作成。
• 基準グループ: 「中卒」
• モデル: \(y = \beta_0 + \delta_1 \text{highschool} + \delta_2 \text{university} + \dots + u\)
• \(\delta_2\) は「中卒」と比較した「大卒」の効果。
• 「高卒」と「大卒」の差を検定するには、\(\delta_2 - \delta_1 = 0\) かどうかを調べる。

ダミー変数同士の交差項

• 例：性別 (female) と 既婚 (married)
• 4つのグループ（独身男性、独身女性、既婚男性、既婚女性）の差を表現できる。
• female * married という交差項を入れることで、結婚の効果が男女で異なるかどうかを検証できる。

量的変数とダミー変数の交差項

• モデル: \(\log(\text{wage}) = \beta_0 + \delta_0 \text{female} + \beta_1 \text{educ} + \delta_1 (\text{female} \cdot \text{educ}) + u\)
• 男性の教育効果: \(\beta_1\)
• 女性の教育効果: \(\beta_1 + \delta_1\)
• \(\delta_1 \neq 0\) であれば、教育の収益率に男女差があることになる。

従属変数がダミー変数の場合

• 例：就業の有無、住宅ローンの承認、政策の効果。
• 従属変数 \(y\) が 0 または 1 をとるモデル。
• \(P(y=1 | x) = E(y | x) = \beta_0 + \beta_1 x_1 + \dots + \beta_k x_k\)
• 係数 \(\beta_j\) は、\(x_j\) が1単位変化したときの \(y=1\) となる確率の変化を表す。

LPMの利点と欠点

• 利点: 解釈が非常に容易である。
• 欠点:
  1. 予測値 \(\hat{y}\) が 0 未満や 1 を超えることがある。
  2. 誤差項に不均一分散が必ず発生する。
  3. 限界効果が常に一定という仮定が不自然な場合がある。
• （より高度な手法として Logit や Probit モデルがある）

LPMの推定例 (mroz)

data(mroz)
# 既婚女性の労働供給 (inlf=1: 労働市場に参加)
res_lpm <- lm(inlf ~ nwifeinc + educ + exper + age + kidslt6, data=mroz)
summary(res_lpm)$coefficients[1:4, ]

##                 Estimate  Std. Error   t value     Pr(>|t|)
## (Intercept)  0.769832596 0.135006985  5.702169 1.703869e-08
## nwifeinc    -0.003258636 0.001455510 -2.238827 2.546088e-02
## educ         0.039128569 0.007363805  5.313635 1.419779e-07
## exper        0.022210504 0.002144369 10.357595 1.394203e-23

処置効果 (Treatment Effect)

• 政策やプログラム（処置）に参加したことの効果を測定する。
• \(y = \beta_0 + \delta_0 \text{prog} + \dots + u\)
• ここで prog は参加した人に対して 1 をとるダミー変数。
• 理想的には、参加がランダムに割り当てられていれば、\(\delta_0\) は因果関係を表す。

まとめ

• ダミー変数は質的情報を回帰モデルに取り込むための強力なツール。
• 解釈の際は常に「基準グループ」を意識する。
• 交差項を用いることで、グループ間の傾きの違いを表現できる。
• 従属変数がダミー変数の場合は線形確率モデル (LPM) として扱うことができる。