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不均一分散 (Heteroskedasticity) とは

• これまでのガウス＝マルコフ仮定（MLR.5）では、説明変数 \(x\) の値に関わらず、誤差項 \(u\) の分散が一定であることを仮定していた。
• \(Var(u|x) = \sigma^2\) （等分散性, Homoskedasticity）
• これが満たされない場合（\(Var(u|x) = \sigma^2(x)\)）、不均一分散と呼ぶ。

不均一分散がOLSに与える影響

1. 不偏性・一致性には影響しない。 OLS推定量は依然として不偏かつ一致である。
2. OLSはもはや最良線形不偏推定量 (BLUE) ではない。 より効率的な推定量が存在し得る。
3. 標準誤差の推定が正しくなくなる。 通常の \(t\) 統計量や \(F\) 統計量を用いた仮説検定が妥当ではなくなる。

頑健な標準誤差 (Robust Standard Errors)

• 不均一分散が存在しても、適切な修正を加えることで妥当な推論（\(t\) 検定など）が可能になる。
• ホワイトの頑健な標準誤差（White standard errors）や、不均一分散に頑健な標準誤差（Heteroskedasticity-robust standard errors）と呼ばれる。
• 大規模標本において、誤差項の分散の形を知らなくても正当化される。

Rでの実装例 (gpa3)

data(gpa3)
res <- lm(cumgpa ~ sat + hsperc + tothrs + female + black + white, 
          data = gpa3, subset = (spring == 1))

# 通常の標準誤差
# summary(res)$coefficients[1:3, 1:2]

# 頑健な標準誤差 (sandwichパッケージを使用)
coeftest(res, vcov = vcovHC(res, type = "HC1"))[1:3, 1:2]

##                 Estimate   Std. Error
## (Intercept)  1.470064766 0.2206802109
## sat          0.001140728 0.0001915317
## hsperc      -0.008566358 0.0014179275

ブロイシュ＝ペーガン検定 (Breusch-Pagan Test)

• \(H_0: Var(u|x_1, \dots, x_k) = \sigma^2\) （等分散）
• 手順：
  1. OLS残差 \(\hat{u}\) を求める。
  2. 残差の2乗 \(\hat{u}^2\) を独立変数 \(x_j\) で回帰する（補助回帰）。
  3. その回帰の \(F\) 統計量または \(LM = n \cdot R^2\) を用いて検定する。

ホワイト検定 (White Test)

• BP検定よりも一般的な不均一分散（非線形な形態など）を検出できる。
• 手順：残差の2乗 \(\hat{u}^2\) を、独立変数、その2乗、および交差項で回帰する。
• 変数が多いと自由度が急激に減少するため、予測値 \(\hat{y}\) とその2乗 \(\hat{y}^2\) を用いる簡略版がよく使われる。

BP検定の実装例

# BP検定 (lmtestパッケージ)
bptest(res)

## 
##  studentized Breusch-Pagan test
## 
## data:  res
## BP = 44.557, df = 6, p-value = 5.732e-08

ホワイト検定の実装例

# ホワイト検定（簡略版）
# 手動計算: 残差2乗を予測値とその2乗で回帰
# 残差2乗
u2 <- resid(res)^2
# 予測値
yhat <- fitted(res)
# 補助回帰
white_reg <- lm(u2 ~ yhat + I(yhat^2))
summary(white_reg)

## 
## Call:
## lm(formula = u2 ~ yhat + I(yhat^2))
## 
## Residuals:
##      Min       1Q   Median       3Q      Max 
## -0.26795 -0.18863 -0.12831  0.02872  2.18250 
## 
## Coefficients:
##             Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
## (Intercept)   0.7980     0.5707   1.398    0.163
## yhat         -0.5270     0.4962  -1.062    0.289
## I(yhat^2)     0.1159     0.1061   1.092    0.276
## 
## Residual standard error: 0.3492 on 363 degrees of freedom
## Multiple R-squared:  0.003455,   Adjusted R-squared:  -0.002036 
## F-statistic: 0.6292 on 2 and 363 DF,  p-value: 0.5336

LM統計量の実装例

# LM統計量 (n * R2) と p値
n <- length(u2)
lm_stat <- n * summary(white_reg)$r.squared
p_val <- 1 - pchisq(lm_stat, df = 2)
data.frame(LM = lm_stat, p_value = p_val)

##         LM   p_value
## 1 1.264452 0.5314075

加重最小二乗法 (Weighted Least Squares)

• 不均一分散の構造 \(Var(u|x) = \sigma^2 h(x)\) が既知である場合、OLSよりも効率的な推定が可能。
• 各観測値を \(1/\sqrt{h(x)}\) 倍して重み付けし、変換されたモデルにOLSを適用する。
• これを一般化最小二乗法 (GLS) の一種と呼ぶ。

実行可能な一般化最小二乗法 (FGLS)

• 関数 \(h(x)\) の形が未知の場合、データから \(h(x)\) を推定してWLSを行う。
• 一般的な手順：
  1. \(\log(\hat{u}^2)\) を独立変数で回帰し、予測値 \(\hat{g}\) を得る。
  2. 重み \(\hat{h} = \exp(\hat{g})\) を計算する。
  3. 重み \(1/\hat{h}\) を用いてWLSを実行する。

まとめ

• 不均一分散下では、OLS推定量は不偏だが効率的ではなく、通常の検定が使えない。
• 解決策1: 頑健な標準誤差を用いる（最も一般的）。
• 解決策2: 不均一分散の検定を行い、必要に応じてWLS/FGLSで効率性を高める。
• 実証分析では、まずは頑健な標準誤差で結果を確認するのが定石である。