```{r setup, echo=FALSE}
knitr::opts_chunk$set(echo = TRUE,
                      message = FALSE,
                      warning = FALSE)
```


```{r packages, include=FALSE}
library(wooldridge)
library(lmtest)
```

# 準備

## 必要なパッケージの読み込み

* `wooldridge`パッケージの読み込み

```r
library(wooldridge)
```

* `lmtest`パッケージの読み込み

```r
library(lmtest)
```





# 9-1 関数形式の誤設定 (Functional Form Misspecification)

---

## 定式化の誤りとは

- 説明変数の非線形性（2乗項や交差項）を見落としている場合。
- 重要な変数が対数形式であるべきなのに、レベル形式で推定している場合。
- **結果:** 係数の推定値にバイアス（不偏性の欠如）が生じる。

---

## RESET検定 (Ramsey RESET Test)

- モデルに説明変数の高次項（2乗、3乗など）が含まれるべきかを検定する。
- 手順：
    1. 元のモデルを推定し、予測値 $\hat{y}$ を得る。
    2. $\hat{y}^2, \hat{y}^3$ を説明変数に加えた補助回帰を行う。
    3. それらの追加変数の係数がすべて0であるという帰無仮説を $F$ 検定する。

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## RESET検定の例 (`hprice1`)

\footnotesize
```{r}
data(hprice1)
res <- lm(price ~ lotsize + sqrft + bdrms, data = hprice1)

# lmtestパッケージのresettestを使用
resettest(res, power = 2:3, type = "fitted")
```
\normalsize

# 9-2 観測不可能な変数の代用 (Proxy Variables)

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## 代理変数 (Proxy Variables)

- モデルに含めるべき重要な変数がデータに存在しない場合。
- 例：能力 ($ability$) が賃金に与える影響を知りたいが、能力は測定不能。
- 代わりに、IQテストのスコア ($IQ$) などを**代理変数**として用いる。
- 代理変数が「誤差」を伴っていても、何もしない（脱落変数バイアス）よりはマシな場合が多い。

# 9-3 ランダム傾きモデル (Models with Random Slopes)

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## ランダム傾きモデルの考え方

- 個体ごとに傾きが異なるモデル：$y_i = a_i + b_i x_i$
- 平均傾きを $b = E(b_i)$ とおくと、$b$ は平均偏効果（APE）として解釈できる。
- 傾きの異質性は、誤差項に $x_i$ との交差項が入る形（$u_i = c_i + d_i x_i$）で表現できる。

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## OLSで平均効果を推定できる条件

- $a_i$ と $b_i$ が $x_i$ と平均独立であれば、OLS は平均傾き $b$ を推定できる。
- 一方で、この設定では一般に不均一分散が生じるため、頑健標準誤差の利用が重要。
- 傾きの異質性を観測可能変数で表す場合は、交差項モデルとして実装できる。

# 9-4 測定誤差 (Measurement Error)

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## 従属変数の測定誤差

- $y^* = y + e$ ($y^*$ が観測値、$y$ が真の値、$e$ が誤差)
- 測定誤差 $e$ が説明変数 $x$ と相関していなければ、OLS係数は依然として不偏。
- ただし、残差の分散が大きくなり、標準誤差が増大する。

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## 独立変数の測定誤差

- $x^* = x + e$
- **古典的測定誤差 (Classical Errors-in-Variables):** 誤差 $e$ が真の値 $x$ と無相関である場合。
- **減衰バイアス (Attenuation Bias):** 係数 $\beta$ が 0 の方向に過小推定される。
- $plim(\hat{\beta}_1) = \beta_1 \left( \frac{\sigma^2_x}{\sigma^2_x + \sigma^2_e} \right)$

# 9-5 欠損データと非ランダム標本

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## データの欠損

- **ランダムな欠損:** 推定値にバイアスは生じないが、サンプルサイズが減る。
- **説明変数に基づく非ランダムな抽出:** $x$ の範囲を限定して抽出しても（例：所得が一定以上の人のみ）、$E(u|x)=0$ が維持されればOLSは不偏。
- **従属変数に基づく非ランダムな抽出:** $y$ の値によってサンプルが選ばれる場合（例：賃金が高い人のみが回答）、バイアスが生じる。

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## 外れ値 (Outliers)

- 少数の異常なデータが最小二乗法の結果を大きく左右することがある。
- 対数変換を行うことで、外れ値の影響を和らげることができる場合が多い。

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## まとめ

- RESET検定は、モデルの非線形性が適切に捉えられているかのチェックに有効。
- 代理変数は、観測不能な変数を近似するために用いられる。
- ランダム傾きモデルでは、平均独立の条件の下でOLSは平均偏効果（APE）を推定できる。
- 説明変数の測定誤差は、係数を 0 に近づけるバイアス（減衰バイアス）を生む。
- サンプルの抽出が $y$ に依存している場合、バイアスが生じるため注意が必要。
