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library(lmtest)

定式化の誤りとは

• 説明変数の非線形性（2乗項や交差項）を見落としている場合。
• 重要な変数が対数形式であるべきなのに、レベル形式で推定している場合。
• 結果: 係数の推定値にバイアス（不偏性の欠如）が生じる。

RESET検定 (Ramsey RESET Test)

• モデルに説明変数の高次項（2乗、3乗など）が含まれるべきかを検定する。
• 手順：
  1. 元のモデルを推定し、予測値 \(\hat{y}\) を得る。
  2. \(\hat{y}^2, \hat{y}^3\) を説明変数に加えた補助回帰を行う。
  3. それらの追加変数の係数がすべて0であるという帰無仮説を \(F\) 検定する。

RESET検定の例 (hprice1)

data(hprice1)
res <- lm(price ~ lotsize + sqrft + bdrms, data = hprice1)

# lmtestパッケージのresettestを使用
resettest(res, power = 2:3, type = "fitted")

## 
##  RESET test
## 
## data:  res
## RESET = 4.6682, df1 = 2, df2 = 82, p-value = 0.01202

代理変数 (Proxy Variables)

• モデルに含めるべき重要な変数がデータに存在しない場合。
• 例：能力 (\(ability\)) が賃金に与える影響を知りたいが、能力は測定不能。
• 代わりに、IQテストのスコア (\(IQ\)) などを代理変数として用いる。
• 代理変数が「誤差」を伴っていても、何もしない（脱落変数バイアス）よりはマシな場合が多い。

ランダム傾きモデルの考え方

• 個体ごとに傾きが異なるモデル：\(y_i = a_i + b_i x_i\)
• 平均傾きを \(b = E(b_i)\) とおくと、\(b\) は平均偏効果（APE）として解釈できる。
• 傾きの異質性は、誤差項に \(x_i\) との交差項が入る形（\(u_i = c_i + d_i x_i\)）で表現できる。

OLSで平均効果を推定できる条件

• \(a_i\) と \(b_i\) が \(x_i\) と平均独立であれば、OLS は平均傾き \(b\) を推定できる。
• 一方で、この設定では一般に不均一分散が生じるため、頑健標準誤差の利用が重要。
• 傾きの異質性を観測可能変数で表す場合は、交差項モデルとして実装できる。

従属変数の測定誤差

• \(y^* = y + e\) (\(y^*\) が観測値、\(y\) が真の値、\(e\) が誤差)
• 測定誤差 \(e\) が説明変数 \(x\) と相関していなければ、OLS係数は依然として不偏。
• ただし、残差の分散が大きくなり、標準誤差が増大する。

独立変数の測定誤差

• \(x^* = x + e\)
• 古典的測定誤差 (Classical Errors-in-Variables): 誤差 \(e\) が真の値 \(x\) と無相関である場合。
• 減衰バイアス (Attenuation Bias): 係数 \(\beta\) が 0 の方向に過小推定される。
• \(plim(\hat{\beta}_1) = \beta_1 \left( \frac{\sigma^2_x}{\sigma^2_x + \sigma^2_e} \right)\)

データの欠損

• ランダムな欠損: 推定値にバイアスは生じないが、サンプルサイズが減る。
• 説明変数に基づく非ランダムな抽出: \(x\) の範囲を限定して抽出しても（例：所得が一定以上の人のみ）、\(E(u|x)=0\) が維持されればOLSは不偏。
• 従属変数に基づく非ランダムな抽出: \(y\) の値によってサンプルが選ばれる場合（例：賃金が高い人のみが回答）、バイアスが生じる。

外れ値 (Outliers)

• 少数の異常なデータが最小二乗法の結果を大きく左右することがある。
• 対数変換を行うことで、外れ値の影響を和らげることができる場合が多い。

まとめ

• RESET検定は、モデルの非線形性が適切に捉えられているかのチェックに有効。
• 代理変数は、観測不能な変数を近似するために用いられる。
• ランダム傾きモデルでは、平均独立の条件の下でOLSは平均偏効果（APE）を推定できる。
• 説明変数の測定誤差は、係数を 0 に近づけるバイアス（減衰バイアス）を生む。
• サンプルの抽出が \(y\) に依存している場合、バイアスが生じるため注意が必要。