```{r setup, echo=FALSE}
knitr::opts_chunk$set(echo = TRUE,
                      message = FALSE,
                      warning = FALSE)
```


```{r packages, include=FALSE}
library(wooldridge)
library(plm)
```

# 準備

## 必要なパッケージの読み込み

* `wooldridge`パッケージの読み込み

```r
library(wooldridge)
```

* `plm`パッケージの読み込み（パネルデータ分析に使用）
```r
library(plm)
```


# 13-1 独立した複数の横断面データの結合

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## 独立した横断面データの結合 (Pooled Cross Sections)

- 異なる時点 ($t=1, 2, \dots$) において、それぞれ独立に無作為抽出されたデータを結合したもの。
- サンプルサイズが大きくなるため、推定の精度（標準誤差）が向上する。
- 重要なのは、**「時間とともに母集団の構造が変化しているか」**を考慮すること。
- 通常、各年ダミー変数を含めて推定する。

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## 例：賃金関数の年次変化 (`cps78_85`)

- 1978年と1985年のデータを結合。
- モデル: $\log(wage) = \beta_0 + \delta_0 y85 + \beta_1 educ + \dots + u$
- $\delta_0$ は、他の条件を一定としたとき、1978年から1985年の間に実質賃金がどれだけ変化したかを表す。

# 13-2 差の差法 (Difference-in-Differences)

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## 政策評価と差の差法 (DiD)

- 自然実験（Natural Experiments）の評価に用いられる手法。
- 処置群（Treatment group）と対照群（Control group）の2つのグループを、政策の前後で比較する。
- **モデル:** $y = \beta_0 + \beta_1 \text{treated} + \delta_0 \text{after} + \delta_1 (\text{treated} \cdot \text{after}) + u$
- **DiD推定量:** $\hat{\delta}_1 = (\bar{y}_{T,A} - \bar{y}_{T,B}) - (\bar{y}_{C,A} - \bar{y}_{C,B})$
- 平行トレンド仮定（介入がなければ処置群・対照群の平均変化が同じ）の下で、交差項の係数 $\hat{\delta}_1$ が政策の因果的効果を表す。

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## DiDの例 (`kielmc`)

- 1978年と1981年の住宅価格。
- 1981年にゴミ焼却炉が建設される予定の地域 (`nearinc`) の住宅価格がどう変化したか。

\footnotesize
```{r}
data(kielmc)
# y81: 1981年ダミー, nearinc: 焼却炉近隣ダミー
res_did <- lm(rprice ~ nearinc + y81 + I(nearinc * y81), data = kielmc)
summary(res_did)$coefficients[1:4, ]
```
\normalsize

# 13-3 2期間のパネルデータ

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## パネルデータ (Panel Data) とは

- **同じ個体** ($i$) を、**異なる時点** ($t$) にわたって追跡したデータ。
- 独立した横断面データの結合とは異なり、個体の固有の特性（能力、性格、歴史など）をコントロールできる。

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## 個体固定効果モデル

- $y_{it} = \beta_0 + \delta_0 d2_t + \beta_1 x_{it} + a_i + u_{it}$
- $a_i$ : **個体固有の効果**（Unobserved heterogeneity）。時間を通じて一定。
- $u_{it}$ : 攪乱項。時間とともに変化する。
- もし $a_i$ が $x_{it}$ と相関している場合、通常のOLS（Pooled OLS）はバイアスが生じる。

# 13-4 1階差分法 (First-Differencing)

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## 1階差分法 (First-Differencing, FD)

- 2期間のパネルデータにおいて、個体固有の効果 $a_i$ を消去する手法。
- $t=2$ の式から $t=1$ の式を引く：
- $(y_{i2} - y_{i1}) = \delta_0 + \beta_1 (x_{i2} - x_{i1}) + (u_{i2} - u_{i1})$
- $\Delta y_i = \delta_0 + \beta_1 \Delta x_i + \Delta u_i$
- これにより時間不変の未観測効果 $a_i$ は除去できるが、$\Delta x_i$ と $\Delta u_i$ が相関しない（差分後の外生性）ことが一致性の条件である。

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## FDの例 (`crime4`)

- 郡 (county) ごとの犯罪率に対する逮捕率の影響。
- $a_i$ は郡固有の地理的、文化的要因（時間不変）。

\footnotesize
```{r}
data(crime4)
# 1981年と1982年に絞る
d8182 <- subset(crime4, year %in% c(81, 82))
# crmrte: 犯罪率(log), prbarr: 逮捕率(log)
# plmパッケージを使ってデータをパネル形式に変換
pdata <- pdata.frame(d8182, index = c("county", "year"))
# 1階差分モデルの推定
res_fd <- plm(crmrte ~ prbarr, data = pdata, model
 = "fd")
summary(res_fd)$coefficients
```
\normalsize

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## まとめ

- **結合した横断面データ:** サンプルサイズの拡大と時間的変化の分析。
- **DiD:** 政策介入の効果を、処置群と対照群の「変化の差」で測定。
- **パネルデータ:** 個体固有の観測不能な要因 ($a_i$) を考慮できる。
- **1階差分法:** $a_i$ を引き算で消去し、時間不変の未観測要因によるバイアスを軽減する（因果解釈には差分後の外生性など追加条件が必要）。
