必要なパッケージの読み込み

• wooldridgeパッケージの読み込み

library(wooldridge)

• plmパッケージの読み込み（パネルデータ分析に使用）

library(plm)

独立した横断面データの結合 (Pooled Cross Sections)

• 異なる時点 (\(t=1, 2, \dots\)) において、それぞれ独立に無作為抽出されたデータを結合したもの。
• サンプルサイズが大きくなるため、推定の精度（標準誤差）が向上する。
• 重要なのは、「時間とともに母集団の構造が変化しているか」を考慮すること。
• 通常、各年ダミー変数を含めて推定する。

例：賃金関数の年次変化 (cps78_85)

• 1978年と1985年のデータを結合。
• モデル: \(\log(wage) = \beta_0 + \delta_0 y85 + \beta_1 educ + \dots + u\)
• \(\delta_0\) は、他の条件を一定としたとき、1978年から1985年の間に実質賃金がどれだけ変化したかを表す。

政策評価と差の差法 (DiD)

• 自然実験（Natural Experiments）の評価に用いられる手法。
• 処置群（Treatment group）と対照群（Control group）の2つのグループを、政策の前後で比較する。
• モデル: \(y = \beta_0 + \beta_1 \text{treated} + \delta_0 \text{after} + \delta_1 (\text{treated} \cdot \text{after}) + u\)
• DiD推定量: \(\hat{\delta}_1 = (\bar{y}_{T,A} - \bar{y}_{T,B}) - (\bar{y}_{C,A} - \bar{y}_{C,B})\)
• 平行トレンド仮定（介入がなければ処置群・対照群の平均変化が同じ）の下で、交差項の係数 \(\hat{\delta}_1\) が政策の因果的効果を表す。

DiDの例 (kielmc)

• 1978年と1981年の住宅価格。
• 1981年にゴミ焼却炉が建設される予定の地域 (nearinc) の住宅価格がどう変化したか。

data(kielmc)
# y81: 1981年ダミー, nearinc: 焼却炉近隣ダミー
res_did <- lm(rprice ~ nearinc + y81 + I(nearinc * y81), data = kielmc)
summary(res_did)$coefficients[1:4, ]

##                   Estimate Std. Error   t value     Pr(>|t|)
## (Intercept)       82517.23   2726.910 30.260341 1.709246e-95
## nearinc          -18824.37   4875.322 -3.861154 1.368017e-04
## y81               18790.29   4050.065  4.639502 5.116892e-06
## I(nearinc * y81) -11863.90   7456.646 -1.591051 1.125948e-01

パネルデータ (Panel Data) とは

• 同じ個体 (\(i\)) を、異なる時点 (\(t\)) にわたって追跡したデータ。
• 独立した横断面データの結合とは異なり、個体の固有の特性（能力、性格、歴史など）をコントロールできる。

個体固定効果モデル

• \(y_{it} = \beta_0 + \delta_0 d2_t + \beta_1 x_{it} + a_i + u_{it}\)
• \(a_i\) : 個体固有の効果（Unobserved heterogeneity）。時間を通じて一定。
• \(u_{it}\) : 攪乱項。時間とともに変化する。
• もし \(a_i\) が \(x_{it}\) と相関している場合、通常のOLS（Pooled OLS）はバイアスが生じる。

1階差分法 (First-Differencing, FD)

• 2期間のパネルデータにおいて、個体固有の効果 \(a_i\) を消去する手法。
• \(t=2\) の式から \(t=1\) の式を引く：
• \((y_{i2} - y_{i1}) = \delta_0 + \beta_1 (x_{i2} - x_{i1}) + (u_{i2} - u_{i1})\)
• \(\Delta y_i = \delta_0 + \beta_1 \Delta x_i + \Delta u_i\)
• これにより時間不変の未観測効果 \(a_i\) は除去できるが、\(\Delta x_i\) と \(\Delta u_i\) が相関しない（差分後の外生性）ことが一致性の条件である。

FDの例 (crime4)

• 郡 (county) ごとの犯罪率に対する逮捕率の影響。
• \(a_i\) は郡固有の地理的、文化的要因（時間不変）。

data(crime4)
# 1981年と1982年に絞る
d8182 <- subset(crime4, year %in% c(81, 82))
# crmrte: 犯罪率(log), prbarr: 逮捕率(log)
# plmパッケージを使ってデータをパネル形式に変換
pdata <- pdata.frame(d8182, index = c("county", "year"))
# 1階差分モデルの推定
res_fd <- plm(crmrte ~ prbarr, data = pdata, model
 = "fd")
summary(res_fd)$coefficients

##                  Estimate   Std. Error     t-value  Pr(>|t|)
## (Intercept) -3.112476e-05 0.0004228138 -0.07361341 0.9414851
## prbarr      -5.663059e-03 0.0039700288 -1.42645298 0.1572758

まとめ

• 結合した横断面データ: サンプルサイズの拡大と時間的変化の分析。
• DiD: 政策介入の効果を、処置群と対照群の「変化の差」で測定。
• パネルデータ: 個体固有の観測不能な要因 (\(a_i\)) を考慮できる。
• 1階差分法: \(a_i\) を引き算で消去し、時間不変の未観測要因によるバイアスを軽減する（因果解釈には差分後の外生性など追加条件が必要）。