```{r setup, echo=FALSE}
knitr::opts_chunk$set(echo = TRUE,
                      message = FALSE,
                      warning = FALSE)
```

```{r packages, include=FALSE}
library(wooldridge)
library(AER)      # ivreg()
library(car)      # linearHypothesis()
```

# 準備

## 必要なパッケージの読み込み

* `wooldridge`: データセット

```r
library(wooldridge)
```

* `AER`: 操作変数推定 `ivreg()`

```r
install.packages("AER")
library(AER)
```

* `car`: 線形仮説検定 `linearHypothesis()`

```r
library(car)
```

# 15-1 動機: 省略変数と操作変数

---

## 内生変数問題の背景

- これまでの対処法:
  1. 省略変数バイアスを無視（不偏性・一致性を失う）
  2. 代理変数の利用（第9章）
  3. 固定効果・1階差分（第13・14章）：**時間不変の**省略変数のみ対処可能
- 本章では別のアプローチ：**操作変数法 (Instrumental Variables, IV)**
  - 時変の省略変数・測定誤差にも対処可能
  - 応用計量経済学で最重要手法の1つ

---

## 単純回帰モデルでの問題設定

- モデル [15.1]:
$$\log(wage) = \beta_0 + \beta_1 educ + u$$
- $u$ には観察不能な能力 ($abil$) が含まれる
- $\text{Cov}(educ, u) \neq 0$ $\Rightarrow$ OLSは不一致
- 必要なのは $educ$ の**操作変数** $z$

---

## 操作変数 (Instrumental Variable) の条件

変数 $z$ が $x$ の操作変数になるための2条件:

1. **操作変数の外生性 (Instrument Exogeneity)** [15.4]:
$$\text{Cov}(z, u) = 0$$
$z$ は誤差項と無相関（検定不可能: 経済理論で正当化）

2. **操作変数の関連性 (Instrument Relevance)** [15.5]:
$$\text{Cov}(z, x) \neq 0$$
$z$ は内生変数 $x$ と相関（検定可能: 第1段階回帰）

---

## 操作変数の候補例（賃金方程式）

| IV候補 | 外生性 | 関連性 |
|--------|--------|--------|
| 父親の教育年数 (`fatheduc`) | ある程度成立（能力との無相関を仮定） | `educ`と正相関（検定可能） |
| 兄弟の数 (`sibs`) | 成立しやすい（能力との無相関） | `educ`と負相関（検定可能） |
| 誕生四半期 (`frstqrt`) | 主張される（季節と能力は無関係） | わずかな相関（問題あり） |
| IQ | 外生性を欠く（abilの代理変数） | — |

---

## IV推定量の導出

- 母集団の共分散より:
$$\text{Cov}(z, y) = \beta_1 \text{Cov}(z, x) + \text{Cov}(z, u)$$
- $\text{Cov}(z, u) = 0$ のとき、$\beta_1$ を**識別** (identify) できる [15.9]:
$$\beta_1 = \frac{\text{Cov}(z, y)}{\text{Cov}(z, x)}$$
- 標本対応の**IV推定量** [15.10]:
$$\hat{\beta}_1^{IV} = \frac{\sum_{i=1}^n (z_i - \bar{z})(y_i - \bar{y})}{\sum_{i=1}^n (z_i - \bar{z})(x_i - \bar{x})}$$

---

## IV推定量の性質

- **一致性**: $\text{plim}(\hat{\beta}_1^{IV}) = \beta_1$（両条件が成立するとき）
- **不偏性なし**: IV推定量は小標本では不偏でない（大標本が望ましい）
- **漸近分散** [15.12]:
$$\text{AsyVar}(\hat{\beta}_1^{IV}) = \frac{\sigma^2}{n \sigma_x^2 \rho_{x,z}^2}$$
  ここで $\rho_{x,z}^2$ は $x$ と $z$ の相関の二乗
- OLS分散 $= \sigma^2 / (n\sigma_x^2)$ より常に大きい（$\rho_{x,z}^2 \leq 1$）
- $\rho_{x,z}^2$ が小さいほど IV の分散は巨大に $\Rightarrow$ **弱い操作変数問題**

# 15-1a IV推定量の統計的推論

---

## 例15.1: 既婚女性の教育収益率 (MROZ)

- データ: 既婚女性428人（就業者のみ）
- モデル: $\log(wage) = \beta_0 + \beta_1 educ + u$
- IV: $fatheduc$（父親の教育年数）→ 関連性: 有（検定可）、外生性: 仮定

\footnotesize
```{r example151}
# mroz データセットを読み込む
data(mroz)
# 就業者（inlf == 1）428人を抽出
mroz_work <- subset(mroz, inlf == 1)
```
\normalsize

---

## 例15.1: 第1段階（関連性確認）

\footnotesize
```{r example151_first}
# educ を fatheduc に単回帰して関連性を確認
first_rel <- lm(educ ~ fatheduc, data = mroz_work)
# fatheduc の係数・SE・t値・p値を表示
coef(summary(first_rel))["fatheduc", ]
```
\normalsize

---

## 例15.1: OLS vs IV の比較

\footnotesize
```{r example151b}
# OLS推定
res_ols151 <- lm(lwage ~ educ, data = mroz_work)
# IV推定: 書式 ivreg(被説明変数 ~ 内生変数 | 操作変数)
# fatheduc を educ の IV に指定
res_iv151 <- ivreg(lwage ~ educ | fatheduc, data = mroz_work)
# educ の係数と標準誤差を OLS・IV で比較
rbind(
  OLS = coef(summary(res_ols151))["educ", 1:2],
  IV  = coef(summary(res_iv151))["educ", 1:2]
)
```
\normalsize

---

## 例15.1: 結果の解釈

- OLS: $\hat{\beta}_{educ} \approx$ `r round(coef(res_ols151)["educ"], 3)` (se = `r round(sqrt(diag(vcov(res_ols151)))["educ"], 3)`)
- IV:  $\hat{\beta}_{educ} \approx$ `r round(coef(res_iv151)["educ"], 3)` (se = `r round(sqrt(diag(vcov(res_iv151)))["educ"], 3)`)
- IV標準誤差はOLSの約`r round(sqrt(diag(vcov(res_iv151)))["educ"] / sqrt(diag(vcov(res_ols151)))["educ"], 1)`倍 $\Rightarrow$ 信頼区間がOLS推定値を含む

---

## 例15.2: 男性の教育収益率 (WAGE2)

- IV: $sibs$（兄弟姉妹数）— 能力と無相関と仮定

\footnotesize
```{r example152a}
# wage2 データを読み込む
data(wage2)
# 関連性確認: sibs（兄弟数）が多いほど学歴は低いか
# sibs の係数（負なら関連性あり）
lm(educ ~ sibs, data = wage2)$coef["sibs"]
```
\normalsize

---

## 例15.2: OLS vs IV の比較

\footnotesize
```{r example152b}
# OLS推定
res_ols152 <- lm(lwage ~ educ, data = wage2)
# IV推定（sibs を educ の IV に指定）
res_iv152  <- ivreg(lwage ~ educ | sibs, data = wage2)
# educ の係数と標準誤差を OLS・IV で比較
rbind(
  OLS = coef(summary(res_ols152))["educ", 1:2],
  IV  = coef(summary(res_iv152))["educ", 1:2]
)
```
\normalsize

- IV推定値 ($\approx$ `r round(coef(res_iv152)["educ"], 3)`) はOLS ($\approx$ `r round(coef(res_ols152)["educ"], 3)`) より大きい

# 15-1b 弱い操作変数の問題

---

## 不良操作変数の漸近バイアス [15.19]

$$\text{plim}\, \hat{\beta}_1^{IV} = \beta_1 + \frac{\text{Corr}(z, u)}{\text{Corr}(z, x)} \cdot \frac{\sigma_u}{\sigma_x}$$

- 外生性 $\text{Cov}(z, u) = 0$ が成立 $\Rightarrow$ IV は一致推定
- $\text{Corr}(z, x)$ が小さいとき: $\text{Corr}(z, u)$ がわずかでも不一致が巨大
- OLSのバイアス [15.20]:
$$\text{plim}\, \hat{\beta}_1^{OLS} = \beta_1 + \text{Corr}(x, u) \cdot \frac{\sigma_u}{\sigma_x}$$
- **IV が OLS より悪い可能性**: $\text{Corr}(z, u)$ が小さくとも $\text{Corr}(z, x)$ が非常に小さければ IV の不一致は OLS より大きくなりうる

---

## 例15.3: 喫煙と出生時体重 (BWGHT) — 悪い操作変数

- IV候補: $cigprice$（タバコ価格）→ $packs$ の関連性が皆無

\footnotesize
```{r example153}
# bwght データを読み込む
data(bwght)
# 関連性確認: cigprice（タバコ価格）が packs（喫煙量）と相関しているか
# cigprice の係数を取得（ほぼゼロなら関連性なし）
lm(packs ~ cigprice, data = bwght)$coef["cigprice"]
# → ほぼゼロ: cigprice は packs の有効な IV ではない
# （関連性条件 [15.5] を満たさない）
```
\normalsize

- **結論**: 操作変数候補は必ず**関連性**を統計的に確認すること
- 関連性がない場合、IV推定値は意味をなさない

# 15-2 重回帰モデルへのIV拡張

---

## 構造方程式と外生変数・内生変数

- **構造方程式 (structural equation)** [15.22]:
$$y_1 = \beta_0 + \beta_1 y_2 + \beta_2 z_1 + u_1$$
  - $y_2$: **内生的説明変数** ($\text{Cov}(y_2, u_1) \neq 0$)
  - $z_1$: **外生変数** ($\text{Cov}(z_1, u_1) = 0$）$\Rightarrow$ 自身の操作変数
- $z_1$ は構造方程式に含まれるため $y_2$ の IV に使えない $\Rightarrow$ 追加の外生変数 $z_2$ が必要
- **除外制約 (exclusion restriction)**: $z_2$ は構造方程式に現れず外生

---

## 誘導型方程式と識別条件

- $y_2$ の誘導型 (reduced form) [15.26]:
$$y_2 = \pi_0 + \pi_1 z_1 + \pi_2 z_2 + v_2$$
- 識別条件 [15.27]: $\pi_2 \neq 0$（$z_2$ が $y_2$ と偏相関を持つ）
- 一般化: 構造方程式 [15.28] に $k-1$ 個の外生変数と1個の内生変数がある場合
  - 誘導型 [15.30] で $z_k$ の係数 $\pi_k \neq 0$ が識別条件

---

## 例15.4: 大学近接性を教育のIVとして使用 (CARD)

- IV: $nearc4$（4年制大学近辺で育ったか）、Card (1995)

\scriptsize
```{r example154a}
# card データセットを読み込む
data(card)
# OLS推定: lwage を educ + コントロール変数に回帰
res_ols154 <- lm(lwage ~ educ + exper + expersq + black + smsa + south,
                 data = card)
# 2SLS推定: nearc4 が educ の操作変数
# 書式: ivreg(y ~ 内生+外生 | IV+外生)、外生変数は両側に書く
res_iv154 <- ivreg(lwage ~ educ + exper + expersq + black + smsa + south |
                     nearc4 + exper + expersq + black + smsa + south,
                   data = card)
```
\normalsize

---

## 例15.4: OLS vs 2SLS の比較

\scriptsize
```{r example154b}
# educ の係数と標準誤差を OLS・2SLS で比較
rbind(
  OLS = coef(summary(res_ols154))["educ", 1:2],
  IV  = coef(summary(res_iv154))["educ", 1:2]
)
```
\normalsize

---

## 例15.4: 第1段階回帰（操作変数の関連性確認）

\footnotesize
```{r example154_first}
# educ を nearc4 + コントロール変数に回帰
first_stage154 <- lm(educ ~ nearc4 + exper + expersq +
                       black + smsa + south,
                     data = card)
# nearc4 の係数・SE・t値・p値を表示
coef(summary(first_stage154))["nearc4", ]
```
\normalsize

- $nearc4$ の $t$ 値 $\approx$ `r round(coef(summary(first_stage154))["nearc4", "t value"], 2)`（有意）$\Rightarrow$ 関連性条件を満たす

---

## 例15.4: 結果の解釈

- OLS: $\hat{\beta}_{educ} \approx$ `r round(coef(res_ols154)["educ"], 3)` (se = `r round(sqrt(diag(vcov(res_ols154)))["educ"], 3)`)
- IV:  $\hat{\beta}_{educ} \approx$ `r round(coef(res_iv154)["educ"], 3)` (se = `r round(sqrt(diag(vcov(res_iv154)))["educ"], 3)`)（Table 15.1に近似）
- IV推定値はOLSの約`r round(coef(res_iv154)["educ"] / coef(res_ols154)["educ"], 1)`倍 $\Rightarrow$ OLSの下方バイアスと整合的
- IV標準誤差はOLSの約`r round(sqrt(diag(vcov(res_iv154)))["educ"] / sqrt(diag(vcov(res_ols154)))["educ"], 0)`倍 $\Rightarrow$ 95%信頼区間が非常に広い

# 15-3 二段階最小二乗法 (2SLS)

---

## 2SLSのアイデア: 複数の操作変数

- 内生変数 $y_2$ に対して複数の除外変数 $z_2, z_3$ がある場合
- それぞれ単独で使えるが、最適な線形結合を使う $\Rightarrow$ **2SLS**
- **第1段階** (First Stage): $y_2$ を全外生変数に回帰して fitted values $\hat{y}_2$ を得る [15.36]:
$$\hat{y}_2 = \hat{\pi}_0 + \hat{\pi}_1 z_1 + \hat{\pi}_2 z_2 + \hat{\pi}_3 z_3$$
- **第2段階** (Second Stage): $y_1$ を $\hat{y}_2$ と $z_1$ に回帰 [15.38]:
$$y_1 \text{ on } \hat{y}_2 \text{ and } z_1$$
- 2SLSの標準誤差は専用コマンドで計算すること（手動計算は標準誤差が不正確）

---

## 例15.5: 既婚女性の教育収益率 (MROZ) — 2SLS

- 除外IV: $motheduc$, $fatheduc$（両親の教育年数）
- まず: 両親の教育が $educ$ と偏相関を持つか確認（$F$ 検定）

\scriptsize
```{r example155_first}
# educ を両親の教育年数 + 経験変数に回帰
first_stage155 <- lm(educ ~ motheduc + fatheduc + exper + expersq,
                     data = mroz_work)
# F 統計量 > 10 が弱操作変数でない目安（Stock-Yogo, 2005）
linearHypothesis(first_stage155, c("motheduc = 0", "fatheduc = 0"))
```
\normalsize

---

## 例15.5: 2SLS推定

- `|` 左: 内生変数（`educ`）＋外生変数　`|` 右: 除外IV（`motheduc`, `fatheduc`）＋外生変数

\scriptsize
```{r example155_2sls}
# 2SLS推定: | 左: 内生変数+外生変数、| 右: 除外IV+外生変数
res_2sls155 <- ivreg(lwage ~ educ + exper + expersq |
                       motheduc + fatheduc + exper + expersq,
                     data = mroz_work)
# 定数・educ・exper・expersq の4係数を表示
summary(res_2sls155)$coefficients[1:4, ]
```
\normalsize

```{r example155_ols_hidden, include=FALSE}
res_ols155 <- lm(lwage ~ educ + exper + expersq, data = mroz_work)  # OLS推定（比較用）
```

- $\hat{\beta}_{educ} \approx$ `r round(coef(res_2sls155)["educ"], 3)` (se = `r round(sqrt(diag(vcov(res_2sls155)))["educ"], 3)`)、5%水準でぎりぎり有意
- OLS ($\approx$ `r round(coef(res_ols155)["educ"], 3)`) より低い $\Rightarrow$ 能力バイアスと整合的

# 15-3c 弱い操作変数の検出

---

## Stock-Yogo (2005) の弱操作変数検定

- IV推定量は関連性が低い場合、**大標本でも深刻なバイアス**
- **実用的な基準** (Stock-Yogo, 2005):
  - 操作変数が1つ: 第1段階の $t$ 値 $> \sqrt{10} \approx 3.2$
  - 操作変数が複数: 第1段階の除外変数の $F$ 値 $> 10$
- より厳密には $F > 20$（Olea and Pflueger, 2013）という主張も

---

## Stock-Yogo 検定（例15.5への適用）

\scriptsize
```{r weak_iv}
# linearHypothesis の結果を ht に保存して F 値を取り出す
ht <- linearHypothesis(first_stage155, c("motheduc = 0", "fatheduc = 0"))
# ht$F[2] が F 値（[1] は NA のため [2] を使う）、>> 10 → 弱い操作変数問題なし
cat("F統計量:", ht$F[2], "\n")
```
\normalsize

---

## 次数条件と階数条件

- **次数条件 (Order Condition)**: 除外された外生変数の数 $\geq$ 内生変数の数
  - ちょうど識別 (just-identified): 除外IV数 = 内生変数数
  - 過剰識別 (over-identified): 除外IV数 > 内生変数数 $\Rightarrow$ 検定可能
- **階数条件 (Rank Condition)**: 各内生変数に対して少なくとも1つの除外変数が部分相関を持つ
  - 実質的に重要: 各内生変数の誘導型回帰で除外IVが有意かを確認

# 15-4 測定誤差問題へのIV応用

---

## 古典的測定誤差とIV

- 古典的測定誤差モデル [15.45, 15.46]:
$$y = \beta_0 + \beta_1 x_1^* + \beta_2 x_2 + u$$
$$x_1 = x_1^* + e_1 \quad \Rightarrow \quad \text{OLSバイアス（ゼロ方向）}$$
- 解決策: $x_1^*$ の別の測定値 $z_1$ を IV として使用
  - $z_1 = x_1^* + a_1$（異なる測定誤差 $a_1$）
  - $e_1$ と $a_1$ が無相関なら $z_1$ は有効な IV

---

## 例15.6: 能力の指標としての2つのテストスコア (WAGE2)

- $IQ$（第1テスト）と $KWW$（第2テスト）を能力の2測定値として使用
- $IQ$ を含む方程式を推定し、$KWW$ を $IQ$ の IV として使用
- `|` 左に $IQ$ を含め、`|` 右では $KWW$ に置き換える

\scriptsize
```{r example156}
# IV推定: 構造方程式（左）→ 誘導型（右、IQ を KWW に置換）
res_iv156 <- ivreg(lwage ~ educ + exper + tenure + married +
                     south + urban + black + IQ |
                     KWW + exper + tenure + married +
                     south + urban + black,
                   data = wage2)
```
\normalsize

---

## 例15.6: 結果

\footnotesize
```{r example156_result}
# educ の係数・SE・t値・p値を表示
coef(summary(res_iv156))["educ", ]
```
\normalsize

- $\hat{\beta}_{educ} \approx$ `r round(coef(res_iv156)["educ"], 3)`（se = `r round(sqrt(diag(vcov(res_iv156)))["educ"], 3)`）: 非有意 $\Rightarrow$ 測定誤差の相関が疑われる

# 15-5 内生性検定と過剰識別制約の検定

---

## 15-5a 内生性検定

- 2SLSはOLSより標準誤差が大きい $\Rightarrow$ 本当に内生性があるか確認したい
- **Hausman型の内生性検定**（回帰ベース）手順:

(i) 誘導型で $y_2$ を全外生変数に回帰し残差 $\hat{v}_2$ を得る

(ii) 構造方程式に $\hat{v}_2$ を追加してOLS推定

(iii) $\hat{v}_2$ の係数が有意 $\Rightarrow$ $y_2$ は内生的

---

## 15-5a 内生性検定（Rコード）

\scriptsize
```{r endog_test}
# Step 1: 誘導型残差を取得（educ の説明されない部分を分離）
v_hat <- residuals(lm(educ ~ motheduc + fatheduc + exper + expersq,
                      data = mroz_work))
# Step 2: 構造方程式に v_hat を追加（有意なら educ は内生）
endog_reg <- lm(lwage ~ educ + exper + expersq + v_hat, data = mroz_work)
# v_hat の係数・SE・t値・p値を表示
coef(summary(endog_reg))["v_hat", ]
```
\normalsize

---

## 内生性検定の結果解釈

- $\hat{\delta}_1 \approx$ `r round(coef(endog_reg)["v_hat"], 3)`, $t \approx$ `r round(summary(endog_reg)$coef["v_hat", "t value"], 2)`：10%水準で有意（示唆的）
- 5%水準では帰無仮説（$educ$が外生）を棄却できない
- **実務上の推奨**: 2SLSとOLSの両方を報告し、差異を議論

---

## 15-5b 過剰識別制約の検定

- 過剰識別（除外IV数 > 内生変数数）の場合: 少なくとも一部のIVが外生かを検定可能
- **Sargan検定**手順:

(i) 2SLS推定を行い残差 $\hat{u}_1$ を得る

(ii) $\hat{u}_1$ を全外生変数に回帰し $R^2$ を取得

(iii) 検定統計量 $nR^2 \sim \chi^2_q$（$q$ = 過剰識別制約数）

---

## Sargan検定（Rコード: Step 1–2）

\scriptsize

```{r overid_test}
# Step 1: 2SLS残差を取得
u_hat155 <- residuals(res_2sls155)
# Step 2: 残差を全外生変数に回帰（IV の外生性と残差の相関を確認）
oir_reg <- lm(u_hat155 ~ motheduc + fatheduc + exper + expersq,
              data = mroz_work)
# 観測数を取得
n <- nrow(mroz_work)
```
\normalsize

---

## Sargan検定（Rコード: Step 3）

\scriptsize

```{r overid_stat}
# Step 3: 検定統計量 nR² ～ χ²(q), q = IV数 - 内生変数数 = 2 - 1 = 1
# n × R² を計算
nR2  <- n * summary(oir_reg)$r.squared
# χ²(1) の上側確率（p値）
pval <- pchisq(nR2, df = 1, lower.tail = FALSE)
```
\normalsize

- $nR^2 =$ `r round(nR2, 4)`
- $p$ 値 $=$ `r round(pval, 4)`


---

## 過剰識別検定の解釈

- $nR^2 \approx$ `r round(nR2, 3)`, $p \approx$ `r round(pval, 3)` $\Rightarrow$ 帰無仮説（両IVが外生）を棄却できない
- $huseduc$（夫の教育）を追加すると $nR^2 \approx 1.11$, $p \approx 0.574$（2自由度）
- **注意**: 検定は全IVが同一の方向にバイアスを持つ場合は検出できない

# 15-6 不均一分散と2SLS

---

## 不均一分散頑健な2SLS推定

- 2SLSでも不均一分散が問題になりうる
- OLSと同様に、**不均一分散頑健標準誤差**が利用可能
- Breusch-Pagan型の検定: 2SLS残差 $\hat{u}_1$ を全外生変数に回帰した際の結合有意性

\scriptsize
```{r hetero_2sls}
# 2SLS推定（例15.5と同じモデル）
res_hc <- ivreg(lwage ~ educ + exper + expersq |
                  motheduc + fatheduc + exper + expersq,
                data = mroz_work)
# vcovHC(): HC1型の不均一分散頑健分散共分散行列を計算
# coeftest(): 頑健 SE を使って t 検定を再実施、educ 行のみ表示
coeftest(res_hc, vcov = vcovHC(res_hc, type = "HC1"))["educ", ]
```
\normalsize

# 15-7/15-8 時系列・パネルデータへの応用

---

## 時系列データへの2SLS適用

- 時系列構造方程式 [15.52]:
$$y_t = \beta_0 + \beta_1 x_{t1} + \cdots + \beta_k x_{tk} + u_t$$
- 2SLSの漸近的性質は弱従属系列で成立
- **注意点**:
  - トレンドや季節性がある場合は時系列ダミーを含める
  - トレンド変数は常に自分自身のIVになる
  - 単位根を持つ変数は1階差分後に適用
- AR(1)誤差の検定: $\hat{u}_t$ を $\hat{u}_{t-1}$ に2SLSで回帰（[15.55]）

---

## 例15.10: 職業訓練と労働者生産性 (JTRAIN) — FD + IV

- FDモデル [15.57]:
$$\Delta\log(scrap_i) = \delta_0 + \beta_1 \Delta hrsemp_i + \Delta u_i$$
- $\Delta hrsemp_i$ が $\Delta u_i$ と相関する懸念 $\Rightarrow$ $\Delta grant_i$ を IV に使用

\scriptsize
```{r example1510}
# jtrain データを読み込む
data(jtrain)
# 1988 年のデータを抽出（1階差分変数が格納されている年）
j88 <- subset(jtrain, year == 1988)
# 必要な3変数のみ選択し、欠損値を除去（n = 45 になる）
j88_clean <- na.omit(j88[, c("clscrap", "chrsemp", "cgrant")])
# 2SLS: cgrant（補助金の変化）を chrsemp（訓練時間の変化）のIVとして指定
res_2sls1510 <- ivreg(clscrap ~ chrsemp | cgrant, data = j88_clean)
# chrsemp の係数・SE・t値・p値を表示
coef(summary(res_2sls1510))["chrsemp", ]
```
\normalsize

```{r example1510_hidden, include=FALSE}
res_ols1510 <- lm(clscrap ~ chrsemp, data = j88_clean)      # OLS推定（比較用）
first_stage1510 <- lm(chrsemp ~ cgrant, data = j88_clean)   # 第1段階回帰
t_cgrant_1510 <- coef(summary(first_stage1510))["cgrant", "t value"]  # cgrant の t 値
```

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## 例15.10: 結果の解釈

- 2SLS: $\hat{\beta}_1 \approx$ `r round(coef(res_2sls1510)["chrsemp"], 3)`（se = `r round(sqrt(diag(vcov(res_2sls1510)))["chrsemp"], 3)`）: 10時間の訓練増加で不良品率約`r round(abs(coef(res_2sls1510)["chrsemp"]) * 1000, 0)`%低下
- OLS: $\hat{\beta}_1 \approx$ `r round(coef(res_ols1510)["chrsemp"], 3)`（se = `r round(sqrt(diag(vcov(res_ols1510)))["chrsemp"], 3)`）: 2SLSはOLSの約`r round(abs(coef(res_2sls1510)["chrsemp"]) / abs(coef(res_ols1510)["chrsemp"]), 0)`倍
- 第1段階: $\Delta grant$ の $t \approx$ `r round(t_cgrant_1510, 2)`（強い関連性）

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## 結合横断面・パネルデータへの2SLS

- 結合横断面: 年ダミーは外生 $\Rightarrow$ 通常のIVと同様に適用
- **例15.9**: 出生率方程式（FERTIL1）で $educ$ を内生と仮定、両親教育をIVに
- パネルデータ + IV: FD後に内生性が残る場合
  - FD後のモデルで追加のIVを使用（例15.10が典型例）
  - ラグ従属変数を含む動的モデルでもIV/GMM法が必要

# まとめ

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## 第15章のまとめ

\footnotesize

| 手法 | 状況 | R関数 |
|------|------|--------|
| IV (1変数) | 内生変数1個、IV1個 | `ivreg(y ~ x | z)` |
| 2SLS | 内生変数1個、IV複数 | `ivreg(y ~ x+w | z+w)` |
| 2SLS（複数内生） | 内生変数複数 | `ivreg()` |
| 頑健SE付き2SLS | 不均一分散 | `coeftest(, vcovHC())` |

\normalsize

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## まとめ（続き）

- **操作変数の2条件**: 外生性（理論で正当化）、関連性（第1段階で検定）
- **弱操作変数**: 第1段階の $F > 10$（Stock-Yogo ルール）
- **次数条件**: 除外IV数 $\geq$ 内生変数数（識別のための必要条件）
- **内生性検定**: 第1段階残差を構造方程式に追加して $t$ 検定
- **過剰識別検定**: $nR^2 \sim \chi^2_q$（$q$ = 過剰識別制約数）
- **代償**: IVの分散はOLSより常に大きい $\Rightarrow$ 大標本が重要
- **応用**: 省略変数、測定誤差、時系列・パネルデータすべてに使用可能
